Stochastische Vorgänge

In diesem Text geht es um eine besondere Art von Vorgängen, die Gegenstand der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Es wird ein Konzept unterbreitet, wie diese Vorgänge in den Wissenschaften modelliert und untersucht werden können. Dabei geht es insbesondere um Probleme, die mit den unterschiedlichen Interpretationen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs und mit der Planung statistischer Untersuchungen zusammenhängen.

Um eine einheitliche begriffliche Fassung der Sachverhalte zu ermöglichen, wird als zusammenfassende Bezeichnung für die betreffenden Disziplinen der Name „Stochastik“ verwendet und erklärt. Es wird weiterhin der Begriff „stochastischer Vorgang“ definiert sowie statistische und probabilistische stochastische Vorgänge unterschieden.

Es werden formale und zahlreiche nichtformale Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs zusammengestellt und diskutiert. Die sogenannten objektiven und subjektiven Wahrscheinlichkeiten können als Arten stochastischer Vorgänge erklärt werden.

Analysen zu den Begriffen „Wahrscheinlichkeit“ und „Chance“

Die Wörter „wahrscheinlich“ und „Wahrscheinlichkeit“ werden in der Alltagssprache häufig und mit wenigen klaren benachbarten Bedeutungen verwendet, sodass von einer Vertrautheit mit diesen Wörtern ausgegangen werden kann. In den philosophischen Lexika kommen die Wörter selten und nur Wahrscheinlichkeit im HWPh mit mittlerer Häufigkeit vor. Neben den philosophischen Lexika wurden weitere Quellen zur Geschichte und den Interpretationen des Begriffs „Wahrscheinlichkeit“ herangezogen. Die zwei grundlegend verschiedenen Interpretationen des Begriffs werden als unterschiedliche stochastische Vorgänge erklärt. Es wird auf zahlreiche Mängel in den philosophischen Texten eingegangen und Probleme des Umgangs mit Hypothesen diskutiert.

Während das Wort Chance in der Alltagssprache sehr häufig auftritt, ist es in den philosophischen Lexika selten oder sehr selten zu finden. Die wenigen Ausführungen sind zudem unvollständig und fehlerhaft. Es werden keine Beziehungen zum Begriff der Wahrscheinlichkeit hergestellt

Die spekulative Methode von Hegel und das Lernen von Mathematik

Ausgehend von den etwa 100.000 Seiten, die Publikationen in den letzten Jahrzehnten zur Interpretation der Werke von Hegel umfassen, stelle ich meine Überlegungen zu den Ursachen dieses Phänomens dar. Am Beispiel des Terminus „Spekulation“ soll das Problem der eigenen Bedeutungen zentraler Wörter bei Hegel verdeutlicht werden. Es wird auf das Verhältnis von Philosophie und Mathematik bei Hegel und in aktuellen Werken zur Philosophie der Mathematik eingegangen. Hauptziel des Beitrages ist der Nachweis, dass aus der Hegelschen Philosophie wesentliche Anregungen für die Vermittlung von Mathematik kommen können. Dies betrifft das Verhältnis von Innerem und Äußerem bei der Aneignung von Wissen sowie die Einheit formaler und nichtformaler Momente mathematischer Begriffe. Am Beispiel der Begriffe „Variable“ und „Wahrscheinlichkeit“ zeige ich, dass alleine mit formalen Momenten nur ein rudimentäres und auch fehlerhaftes Verständnis des wahren Inhalts der Begriffe erreicht wird. Am Schluss des Beitrages werden Arten nichtformaler Momente mathematischer Begriffe vorgestellt.

Gegenstände der Mathematikdidaktik

Die Fachdidaktiken kämpfen um ihre Anerkennung als eigenständige wissenschaftliche Disziplinen. Von den einen werden sie als Bestandteil der jeweiligen Fachwissenschaft, von anderen als Bestandteil der Erziehungswissenschaften und von einigen auch als „Design-Science“ (d. h. Konstruktion und Erforschung von geeigneten Lernumgebungen) angesehen. Die Frage nach dem Gegenstand einer Wissenschaft ist substantiell für ihre Existenz. In dem Auszug aus meinem Didaktiklehrbuch werden eigenständige Gegenstände der Mathematikdidaktik angegeben, die ihren selbständigen Status als Wissenschaft determinieren und in analoger Weise auf alle anderen Fachdidaktiken übertragen werden können.

Probleme im Umgang mit Prozenten

Die Fünf-Prozent-Hürde ist eine gängige Formulierung aus dem politischen Alltag. Umso bedenklicher ist es, wenn weniger als die Hälfte von befragten Auszubildenden und Fachgymnasiasten zutreffende Interpretationen der Formulierung „5 % der Bürger“ nicht erkannt haben. Dies ist nur ein Zeichen für die vielen Probleme, die in der Schule und im Alltag mit Prozenten verbunden sind. In dem Beitrag werden Probleme aufgelistet und auf ihre unzureichende wissenschaftliche Bearbeitung, insbesondere für die Behandlung im Unterricht, hingewiesen.

Eine Hauptursache für die Schwierigkeiten liegt im Prozentbegriff selbst. Er besitzt gegensätzliche Momente, die zu unterschiedlichen mathematischen Modellen führen und sogar Wissenschaftlern Probleme bereiten. Angesichts der unbestreitbaren Bedeutung eines sinnvollen und sicheren Umgangs mit Prozenten, ist hier auf verschiedenen Ebenen noch einiges zu tun.